‘끼치(다)’에 보조 용언 ‘주다’의 높임말인 '(-어) 드리다'가 결합한 형태인 ‘끼쳐 드려’나, ‘겪(다)’에 ‘하다’의 보조 용언 구성 ‘-게 하(다)’와 보조 용언 ‘주다’의 높임말인 ‘(-여) 드리다’가 결합한 형태인 ‘겪게 해 드려’로 쓸 수 있습니다.
다만 '불편을 겪게 해 드려’보다는 ‘불편을 끼쳐 드려’로 쓰는 것이 간결하다고 봅니다.
그리고 문의하신 경우에 쓰이는 ‘드리다’는 “좋지 아니한 영향을 미치게 하다.”라는 뜻을 가진 본용언 ‘주다’의 높임말이 아니고, 보조 용언 ‘주다’의 높임말이므로, ‘불편을 드려’가 아닌 ‘불편을 끼쳐 드려’와 같이 표현하는 것이 알맞겠습니다.
출처: 국립국어원
